三门问题及相关
写篇三门问题的终结版。欢迎补充材料。
三门问题，亦称为蒙特霍问题（英文：Monty Hall problem），最初的表述形式：
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？
很老的问题了，不过在任何时候都能引起激烈的争论，更神奇的是无论直觉派，概率派等都认为自己的答案有道理。维特根斯坦认为世界上多数问题归根结底都是语言问题。三门问题的争论其实也是语义上的。正确答案应该是
- 如果主持人事先知道哪个门里有山羊并且他特意选择了有山羊的门打开了，那么参赛者应该换另一扇门，这可以将他胜利的概率从1/3升到2/3。
- 如果主持人事先不知道哪个门里有山羊或者他只是随机的选择了一个门，但事实发现里面恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的必要，胜利概率总是1/2。
简单的证明（如果对概率论一点都不了解得话可以直接枚举进行计数）：
我们需要计算P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门)。以下说明在第一种情况这个概率为1/3；在第一种情况下这个概率为1/2。如果参赛者没有选中汽车门，另一扇门必定是汽车门，所以换门后包含汽车的概率分别为2/3和1/2。
P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车，主持人打开了一个山羊门)/P(主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车门)P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)/P(主持人打开了一个山羊门) .................(*)
而P(参赛者选中了汽车门) = 1/3。在参赛者选中了汽车门时，主持人打开的必定是山羊门，所以P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)=1。
问题的关键是P(主持人打开了一个山羊门)。在第一种情况下，主持人每次都有意的打开了山羊们，所以此时P(主持人打开了一个山羊门)=1；在第二种情况下，主持人随机选择了一个门，虽然他是在参赛者选择的门之外选择的，但不难知道这个概率为P(主持人打开了一个山羊门)=2/3。
将上面数据代入(*)即得出结论。
上面答案中的假设条件并没有在问题中明确指出，从而导致这个问题的巨大争议。所以最后的问题“官方”表述将问题严格确定下来(来源：三门问题@wikipedia)：
- 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
- 主持人知道每扇门后面有什么。
- 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
- 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
- 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
- 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
- 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
这时候问题被限制在答案的第一种情况，这时候参赛者总是应该选择换一个门。
要正确理解三门问题，可以再看两个三门问题的翻版：
女孩的概率
1. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。那么，两个都是女孩的概率是多少？
答：三分之一。
因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。 因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。
这对应了三门问题的第一种情况。
2. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？
答：二分之一。
这似乎非常奇怪，因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多，但概率却不同。但是这里的问题其实是，那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少？这个概率和生女孩的概率相同，二分之一。
这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题，必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。
你得到的答案依赖于所讲的故事；它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。
三囚犯问题
亚当、比尔和查尔斯被关在一个监狱里，只有监狱看守知道谁会被判死刑，另外两位将会获释。有1／3的概率会被处死刑的亚当，给他母亲写了一封信，想要获释的比尔或查尔斯帮忙代寄。当亚当问看守他应当把他的信交给比尔还是查尔斯时，这位富有同情心的看守很为难。他认为如果他把将要获释的人的名字告诉亚当，那么亚当就会有1／2的概率被判死刑，因为剩下的人和亚当这两人中一定有一个人被处死。如果他隐瞒这信息，亚当被处死的概率是1／3。既然亚当知道其他两人中必有一人会获释，那么亚当自己被处死的概率怎么可能会因为看守告诉他其他两人中被获释者的姓名后而改变呢？
正确的答案是：看守不用当心，因为即使把获释人的姓名告诉亚当，亚当被处死的概率仍然是1／3，没有改变。但是，剩下的那位没被点名的人就有2／3的概率被处死（被处死的可能性升高了）。
这位看守显然很有趣。对他来说，这三个人死不死的概率是不变的：1、0、0。有一个必死，两个必活。
我们旁观者认为亚当会死的概率是1/3,那是因为监狱里有3个人，会死1个。现在看守说出一个名字后，我们旁观的人知道是2个里面死1个，亚当在内，则亚当会死的概率上升到1/2。凭什么说在旁观者看来，亚当会死的概率不上升？
以上两问题均出自《随机性》，美国 Bennett D.J.著，吉林人民出版社，2001年。
其实如果亚当指定某个人问：xxx会不会被获释？那么亚当被获释或者被处死的概率就和剩下那个人一样了
但如果是看守告诉亚当xxx（例如比尔）会被释放，此时查尔斯就的死亡概率就上升了，因为在亚当必死的情况下，看守有1/2概率说查尔斯，也有1/2概率说比尔，而现在他说了比尔，就排除了另一个亚当必死的的概率，等价于查尔斯死亡概率就上升了。亚当是不变的。
也就是说“xxx会被处死”的情况数量和“看守告诉亚当xxx会被处死”的情况数量不同，而我们很容易让思维走进前者的胡同里。
三门问题的争论其实也是语义上的。
嗯，一直认为如此
三门问题其实没有任何的漏洞……
还有一种帮助理解的方式：
主持人给你一百个门，让你选择一个，然后一口气打开了其余的98扇山羊门，然后问你是否改变选择。
如果先考虑将100用n来代替，一口气打开其中的n-2扇门这样的推广问题，然后再将n退化到3，应该更好理解。
那两个女孩儿的问题看来只是语义上的问题
假如两个孩子为a和b，无先后顺序。
第一种情况是已知a、b之中有一个是女孩儿，但是a还是b,我们是不知道的，只能排除BB这种情况，因此排列组合的话，GG是1/3；
第二种情况就有细微的差异，相当于我们已知a是一个女孩儿（两者平等，姑且把见到的定义为a），问b是女孩儿的概率，自然是1/2。
这样子其实完全是表述不清，语境问题，跟数学精神有违，不如问清楚来得好。
嗯，你说得很清楚。
完全是诡辩，两个孩子其中有女孩，只有两种情况，B+G和G+G，因为是“有两个”，不存在先后问题，所以不能用排列，只能用组合来统计，所以应该是1/2，而不是1/3。
同意 islet8 朋友的说法。
考虑下语境就是1/3.
经典的概率里面认为2个孩子是可分辨的，分成4种情况是合理的。又不是量子论里的粒子，那才不可分辨~
同意,
反倒是2. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？********这个的概率是0.75
第一, 两个孩子是否男女是一个独立的事件, 这个是女,不会影响到另外一个的性别,所以是0.5
第二, 假设(题意应该也是)她是随机带孩子上街的,所以你看到的女孩可能是你想像中的女孩也可是在你想像处的女孩,而这两种可能都是0.5(她是随机带孩子上街). 所以概率= (想象中的)(1(想像外的) + 0.5(如果是想象中的话))* 0.5(加权) = 0.75
第三, 在三门问题中, 你选中了一扇门, 因为是三扇门是相互独立的,所以你选定后并不会其它两扇门是不会影响到你现在的选择的.所以你选择的门的概率还是1/3, 那当然另外一扇门的概率就是2/3了.
[...] 解答可以从上面那个撞墙百科的链接里找到。不过我还是要给另外一个地址，因为那里给了这个题目的一些变体。 http://zhiqiang.org/blog/posts/three-doors-related-problems.html [...]
能介绍几本数学读物吗？谢谢
不好意思，似乎你的答案与维基上的不一样。
“不过若主持人不知道哪扇门有羊，在参赛者选择后仍开出羊，此时透过转换选择而 赢的概率仍为2/3。”
你能讲讲怎么回事么？
我坚持我的答案是正确的。为此补上了严格的证明。
我不知道为何wikipedia上会那么写。
我又看了英文wiki上的相关资料，它上面的答案与我的一致。看来中文wiki上还是靠不住啊：
这几个问题我都很糊涂……感觉是必须在决策的一开始就进行概率估算，然后根据信息的变化再修改。不知对否？
有种看《概率论基础教程》的感觉。
答案其实很简单：任何情况都不用换。只要理解了什么是概率的本质，就不会犯错。所以说知识分子有时候不如卖菜的农民。知其一而不知其二，自己被自己绕进去了。有兴趣交流的朋友可以找我。qq 32675547 另外建议博主进入金融或经济政策行业，比计算机行业好玩。
你的评论只是证明了金融或经济政策行业的人是SB
kerrigan 的思路是对的
我来讨论讨论
该题目原是美国《检阅》杂志的“玛丽莲”专栏上介绍的一道游戏性质的数学题，在美国引起了轰动，大约有1000所大中小学，从二年级的小学生到研究生都卷入了求解这个题目的讨论。有趣的是，在给该专栏主持人玛丽莲小姐的10000多封来信中，有约1000封是具有博士头衔的读者写的，他们说，玛丽莲小姐的答案是错的。
玛丽莲小姐的题目是这样的：有三扇可供选择的门，其中一扇后面是辆汽车，另两扇的后面都是一头山羊。你当然想选中汽车。主持人先让你随意挑选。比如你选了1号门，这时主持人打开的是后面有羊的一扇门（比如它是3号门），现在主持人问你:“为了有较大的机会选中汽车，你是坚持你原来的选择、还是愿意换选另一扇门?”
玛丽莲小姐公布的答案是：“应该换选另一扇门。”——这是说：她给你看3号门后面是羊之后，你原来选1号门的，应换选为2号门；你原来选2号门的，应换选1号门。
通常的想法是，主持人既然把没有车的那扇门打开了，剩下的两扇门后面是车是羊的可能性各占一半，坚持原来的选择也好，换选也好，选中车的机会都是二分之一。
博士们就是这样想的，你认为究竟谁对呢?
解：
这个问题的关键在于一个条件或者说一个暗示，即主持人知道门后面有什么并且希望游戏继续进行，这样的造成的一个推理结果是主持人打开一扇后面是羊的门的过程是主动有意的（简述为“主持人选羊”的原则）。然而这个条件题目并没有明确地给出，而是间接地用语义和常识进行了暗示，不过这其实并不影响最后的综合考虑结果。
(a.1)若主持人知道门后面有什么，那么他的选择不是随机的，实际上他很可能会是有意识的选择了后面有羊的门，而将有车的门留下。因此3号门就将有车的概率给了2号门，此时2号门的有车的概率为2/3了。
(b.1)若主持人不知道门后面有什么，那么他打开一扇门跟你打开一扇门是一样随机的。这样的话剩下的两扇门概率相同，各为1/2，因此换不换是一样的。
呵呵，会不会有些想不清楚了？没关系，接下来给出清晰详细的数学分析及计算
(0)很明显，各个门里有车的概率均为1/3。
设“主持人在2号门和3号门内选择一个门打开之后是羊并且车在剩下的那个门内”为事件A。
(a.2) 首先我们将2号门和3号门看作一个整体，称作2.5号门。那么车在2.5号门的概率就是1/3+1/3=2/3。若车在2.5号门(P=2/3),主持人选择一个后面是羊的门的概率是1，这时车在剩下的那个门内的概率也是1；若车在1号门(P=1/3), 主持人选择一个后面是羊的门的概率是1，车在剩下那个门内的概率为0。
得：P(A)=(2/3)*1*1+(1/3)*1*0=2/3 (a.2.1)
这时1号门有车的概率小于另一个门，我们应改变选择。
(b.2) 若车在2.5号门(P=2/3)，主持人由于是随机选的，他选中羊的概率是1/2，此时车在剩下的那个门内的概率为1；若车在1号门，主持人怎么选都是羊，车在剩下的门内的概率为0；
得：P(A)=(2/3)*(1/2)*1+(1/3)*1*0=1/3 (b.2.1)
这时1号门有车的概率等于另一个门，改不改变无所谓。
比较(a.2.1)和（b.2.1）发现，差别就在于主持人选门的过程。若为a情况，我们有一个重要的信息：主持人总是肯定能选到羊并且优先选到羊，这个过程并不随机，或者说主持人选择一个门打开之后是羊概率总为1。而在b情况中，主持人选有羊的门是随机的，即可能打开一扇有车的门，这时游戏就没法继续玩了，所以和a相比，b有1/3的概率流失，即游戏无法继续的概率，而对于a情况，主持人总会选羊（“主持人选羊”原则），游戏肯定能继续进行，因此那 1/3的概率就加在了剩下的那个门上。
事实上，在实际情况中我们也只能猜测主持人的信息和动机。也许他不知道门后面有什么，也许他的想法很简单，随便打开一个门，若里面是车，对不起，你Game Over了。但要是里面是羊，他就想增加游戏的刺激性和趣味性让你再选一次，这时改不改变选择是一样的，但是从心理角度来分析的话，改变选择若是没得到车，后悔程度将更大，因此人们害怕改变选择；也许主持人知道后面有什么，为什么我们推出“主持人选羊“原则？因为主持人既然知道门后面有什么，他是会想增加游戏的刺激性和趣味性的，即努力让游戏多进行会，否则若是车不在1号门内，他会马上把有车的门打开，然后一脸抱歉的说，噢，非常遗憾。这是不太符合题目条件的。但是这个常识上的假设并不一定成立，因为主持人若是知道门后面有什么，他是可以自由控制选中有羊的门的概率的。比如假设他知道2号门内有羊，3号门内有车，但他并不直接作选择，而是自己做两个纸条一个写2一个写3抓阄，这时主持人选羊又回到了随机过程，概率为1/2；他也可以做三个纸条，两个上面写2，另一个写3，这时再抓阄的概率就是2/3了，他也可以两个写3，另一个写2，这时概率就只有1/3了；
所以接下来我们来推广地讨论一下这个问题
设主持人知道门后面有什么的概率为p,主持人选择的门后面是羊的概率为t（只有在主持人知道信息时才能为0-1的任意一有理数，否则为1/2）。
则剩下的门内有车的概率与1号门内有车的概率之差为
[(1-p)*(1/3)+p*(2/3)*t]-1/3
=(p/3)(2t-1)
可得当t>1/2时应该改变选择，t<=1/2时不应该改变选择
所以最终选择与主持人是否知道信息无直接关系，有直接关系的是t，只是在我们熟知的实际生活中，若主持人知道门后有什么，这个t通常为1。
关于三门问题：这是个有前提条件的问题，大家被严重的思维混淆了
1、结果：换门，赢取汽车的概率为2/3，不换门，赢取汽车的概念为1/3 （成立）
前提：同一个人玩同一个游戏3次以上，那么每次选择换门的话，赢取汽车的概率为2/3
2、结果：换门与不换门赢取汽车的概率均为1/2 （成立）
前提：同一个人只有一次机会玩同一个游戏，那么在主持人确定一扇门后，他换与不换的概率就是1/2.
2/3和1/2的结果问题就是根本不是同一类别，是概率两大类别，所谓的2/3概率是相对一个空间，在100次的机会种，你将会有2/3的机会赢取。1/2概率是在限定的情况下，发生的概率，所以是不同的。
我认识若主持人知道，各个门里有什么，实际上就等于于——一开始只有两扇门，一扇门里有羊，一扇里面有车.因为主持人必可开启一扇有羊的门.（前提当然是我们都认为这两只羊是一样的）所以实际上换与不换是一样的.若主持人不知道的话，jump1989 的回答很好.