阅微堂 » 科学 http://yueweitang.org/blog zhiqiang's personal blog Mon, 22 Jun 2009 15:32:35 +0000 http://wordpress.org/?v=2.9-rare en hourly 1 正当志愿填报时-复旦大三本科生解决世界级几何猜想？ http://yueweitang.org/blog/posts/minimum-manhattan-network-at-25th-socg.html http://yueweitang.org/blog/posts/minimum-manhattan-network-at-25th-socg.html#comments Mon, 22 Jun 2009 15:32:35 +0000 zhiqiang http://yueweitang.org/blog/posts/minimum-manhattan-network-at-25th-socg.html 最近很热的一条新闻，关键词：复旦大学，大三本科生，世界级猜想，内地数学家已经阔别了整整十八年的最高级别的会议…

 

论文信息：

Minimum Manhattan Network is NP-Complete（PDF版本）
Francis Y. L. Chin, Zeyu Guo and He Sun

被25th Annual Symposium on Computational Geometry(SoCG)接收，SoCG是计算几何领域顶级会议。

关于作者排序：复旦大三本科生Zeyu Guo位居第二作者，目前第一作者为香港大学计算机系教授。但此论文作者顺序应该是按照SoCG的惯例为字母排序，所以实际第一作者未知。

Minimum Manhattan Network问题是指平面上有若干个点，只使用水平和垂直的线段把它们都连起来，求需要的最小线段总长度。论文的结论是从3SAT规约证明了此问题是NP完全的。NP完全问题已经成千上万个了，大部分的NP完全问题证出来都没人看。此结果比较重要是因为Minimum Manhattan Network本身的应用比较广泛。但要说它是世界级难题也太那个啥了。

 

此新闻出现在高考填报志愿前期，对复旦大学招生应该助益不少，同样28岁清华研究生任湖北宜城市长这条新闻也是如此 :D

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]]> http://yueweitang.org/blog/posts/minimum-manhattan-network-at-25th-socg.html/feed 12 双信封悖论和围城效应 http://yueweitang.org/blog/posts/two-envelopes-problem-and-siege-effect.html http://yueweitang.org/blog/posts/two-envelopes-problem-and-siege-effect.html#comments Thu, 26 Feb 2009 04:20:02 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/posts/two-envelopes-problem-and-siege-effect.html 问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

  1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
  2. A是较小的钱数的概率为1/2，为较大的钱数亦为1/2。
  3. 如果A是较小的钱数，则另一个信封里钱数为2A；
  4. 如果A是较大的钱数，则另一个信封里的钱数为为A/2。
  5. 所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4，大于A。
  6. 你应该更换你的选择。

想想看，这个问题和推断是不是有点像围城效应？

很显然，上面的推断结果是有问题的。关键在于第二条，如果上面推断中的第二条成立的话，我们假设P(A)为两个钱包里的钱数为（A/2，A）的概率，那么将有P(A)=P(2A)，从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布，这是不可能的。

上面这个问题以前就讨论过，最近一个同学问起这个悖论的变种：

问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的10倍。而且两个信封里的钱的数量是(10^n,10^{n+1})的概率是2^{-n}，其中n=1,2,\cdots, +\infty。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

  1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
  2. 如果A=1，另外一个钱包有10块钱，你应该更换你的选择。
  3. 如果A>1，另一个钱包为10A的概率为1/3，有A/10块钱的概率为2/3。
  4. 另一个钱包的期望钱的数量为17A/5，大于已选的钱包的钱数A。
  5. 你应该更换你的选择。

这个推断几乎没有问题，一句话的总结就是，在一个期望无限收益的游戏里，玩家不可能得到满足（达到期望值）。

© zhiqiang for 阅微堂, 2009. | 链接 | 21 条评论

]]> http://yueweitang.org/blog/posts/two-envelopes-problem-and-siege-effect.html/feed 21 摸箱子问题以及在Static data structure problems上的应用 http://yueweitang.org/blog/posts/boxes-problem-on-static-data-structure-problems.html http://yueweitang.org/blog/posts/boxes-problem-on-static-data-structure-problems.html#comments Tue, 16 Dec 2008 08:24:54 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/posts/boxes-problem-on-static-data-structure-problems.html 以前提到过，理论计算机这门课会邀请一些正在这边访问的教授来讲课，由于是本科生，所以这些教授一般都是讲些有趣的东西，比如之前的overhang 堆积木 -- 能伸出桌面多远？。今天这次课，来自Aarhus的Peter Bro Miltersen讲了一个很有趣的游戏问题。

现在有100个箱子，有一个学生，一张写着他的名字的名片被放在某个随机选择的箱子里面。现在这个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，希望能够把它的名字找出来。

很显然，这个学生没有什么好的方法，随机选择50个箱子打开，有一半的概率可以发现含有它的名字纸条的箱子。

OK，现在还是100个箱子，但是有100个学生，写着这些学生的名字的100张纸条随机放入100个箱子里(每个箱子恰好一张纸条)。现在每个学生可以检查不超过一半也就是50个箱子，每个学生希望能找到含有自己名字的箱子。如果在游戏中，所有学生都是独立的（他们不能互相讨论以及看到其他人的开箱结果），问所有学生都实现目标的概率有多大？

如果把每个学生的结果认为是独立的，那么成功的概率只有2^{-100}，但其实我们可以做的比这要好得多。事实上，让每个学生都找到含有自己名字的箱子的概率可以高达0.3。

假设学生的名字就是它的编号，从1到100。第i个箱子里的编号是\pi(i)。第i个学生这样做：先打开第i个箱子，再打开第\pi(i)个箱子，再打开第\pi(\pi(i))个箱子，以此继续下去，直到发现写着自己名字（也就是i）的纸条或者打开箱子数到达50个为止。

那么当且仅当在i到\pi(i)这个置换中含有长度超过50的圈时，有学生找不到含有自己名字的箱子。这个概率是\sum_{j=51}^{100}1/j \sim \ln 2（注意一个随机置换里含有一个长度为j的圈的概率为1/j）。

所以上面策略的成功概率为 1-\ln 2 \sim 0.3。

类似于以前提到的帽子游戏一以及帽子游戏二，我们要最大化一个团体都成功的概率，但是每个单个个体成功的概率又是一定的，那么我们只需要设计策略时，让大家要么几乎同时成功，要么几乎同时失败。就像上面的策略里，如果有人失败，意味着排列中有一个长度很大（大于n/2）的圈，这个圈上所有人同时也会失败，通过把失败的实例重合到一起，这样就提高了总体成功的概率。

上面这个问题不是孤立的，它可以应用在static data structure problems的下界证明上。对于后面这个问题，在最近是一个很热门的研究领域，但在这里写了也没人看，知道这个问题的也不需要看，所以我只提一下我们还可以做什么，下面是一个open problem，可以直接得出一个data structure问题的一个下界，是一个可以写学术论文的题目：

Open problem：假设现在有2n个箱子，n个学生，学生们的名字纸条被放入随机选中的n个箱子里。现在每个学生可以检查不超过一半也就是n个箱子，以找到含有自己名字的箱子。问这时候学生可以采取什么样的策略最大化所有学生都成功找到含有自己名字的箱子的概率。

期望结果：证明指数级小的下界或者找到常数概率的策略。

有兴趣的可以参考The cell probe complexity of succinct data structures.

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 13 条评论

]]> http://yueweitang.org/blog/posts/boxes-problem-on-static-data-structure-problems.html/feed 13 WorldQuant的笔试题 http://yueweitang.org/blog/posts/worldquant-written-test-2007.html http://yueweitang.org/blog/posts/worldquant-written-test-2007.html#comments Wed, 26 Nov 2008 11:07:58 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/posts/worldquant-written-test-2007.html 今年找工作并且常在水木混的人对WorldQuant这个公司应该不陌生，因为它在各求职版周期性发帖，标题是“美国著名对冲基金！   超百万收入！！！”，而且中英文轮流上，让人不注意也难。

WorldQuant的笔试以难度注明，考试时间也超长，5个小时以上，绝对是智力和体力的双重挑战。

今年这次校园招聘马上就要开始了。先贴一个网上找到的去年的WorldQuant笔试题（好像去年才进入中国，所以也只有这么一次的样本）。大家先热身一下。

300层楼，3个一样的小球，设计一个策略，得到小球摔碎的临界层数，并且要求最坏情况下所试次数最少。

经典的扔鸡蛋问题，只不过现在有三个鸡蛋。解题思路一样的，都是动态规划。

记F(n, k)为n层楼，k个球时所需要的最少尝试次数，则

F(n, k) = min ( F(n-r, k) + 1, F(r-1, k-1) + 1), r = 1, 2, …, n;

F(n, 1) = n;

一百个眼镜，摆成一个圈，全部正面向上，第一个人将每个翻动一次，一共翻了100次；第二个人从no.2开始隔一个翻一次，也翻100次；第3个人从no.3开始隔两个翻一次，翻100次，问100个人之后，多少眼镜正面向上

以前有个类似的题目说的是眼镜在一个直线上，现在这个版本要难一些。

对序号为x (x=1,2,\cdots, 100)的眼镜，如果(100,i)|x，它在第i轮翻动的次数为(100, i)，否则没有被翻动。所以它总共被翻动的次数为

\sum\limits_{(i,100)|x} (100, i) = \sum\limits_{d|(x,100)} d\varphi(\frac{100}{d})

其中这里\varphi(z)为1到z中与z互素的数的个数。注意到上面式子右边要么d为偶数，要么\varphi(\frac{100}{d})为偶数，所以所有眼镜都被翻动偶数次，从而最后所有眼镜都是正面朝上的。

一个蛋糕，切成连续的n块，有m个豆，问如果每小块上放一种豆，并且要求相邻的2块上的豆不一样，有多少种方法。

？？？

一条东西向长街，你站在街中间，街北是一排门，你有一把钥匙，请写出一种策略，要求X/N在最坏情况下最少，X为你到达正确的门时所走的总路程，N为正确的门距原点的距离，可以假设门与门之间距离为1。

动态规划？

都不怎么会做 :(

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 17 条评论

]]> http://yueweitang.org/blog/posts/worldquant-written-test-2007.html/feed 17 为什么这个世界需要量子机制 http://yueweitang.org/blog/posts/why-the-world-needs-quantum-mechanics.html http://yueweitang.org/blog/posts/why-the-world-needs-quantum-mechanics.html#comments Fri, 21 Nov 2008 02:50:51 +0000 zhiqiang http://zhiqiang.org/blog/?p=875 注：这学期姚期智先生在清华给了一门研究生课程《高等理论计算机I》，主要内容就是讲量子计算，我也许诺要写一些这方面的东西，现在这门课已经接近了尾声，下面开始第一篇。

准确的说，这篇不算我写的。基本上是翻译自Why the world needs quantum mechanism。而且必须得说，原文比这个翻译要详细和有趣得多，所以大家尽量去看原文吧。

理解现代物理的一个挑战是当我们讨论微观物质时某些概念过于抽象，它们超出了我们的“常识”。在这里我们使用一种我们更容易理解的表述方式。

我们首先讨论抛硬币。我们可以观察到硬币在落地时是正面朝上还是反面朝上。这看起来似乎没有问题。但事实上在我们观察的时候发生的事情比我们想象得要多。在你的大脑真正确定硬币的朝向之前，日光或者某种其它类型的光线从银币上反射进入你的眼睛，刺激你的视神经，信号传送到你的大脑。

物理学家将这种确定硬币朝向的过程称为“测量”，更准确地说，这种观测硬币的行为被称为测量硬币的二元性质。它与我们日常生活中所说的用尺子去量长度等有些许不同。但是基本思想是一样的，测量是决定一个物理性质的过程，无论是确定一个物体的长度，还是一枚银币的朝向。

我们可以用肉眼去观测一枚硬币， 这符合我们的日常经验。如果我们要观测的物体是微观粒子，比如构成光的光子呢？在观测红色光线时，很多的红色光子进入了你的眼睛。光子越多，光线越亮。

光子和硬币一样，它们也可以定义很多二元性质。其中一类性质就是是否具有某个特定角度的偏振方向。对于不熟悉这个概念的人，可以取一副太阳镜，去看海洋或者池塘表面，你会注意到随着太阳镜角度的不同，它们透过的光线会不一样。这意味着随着角度的不同，不同数量的光子通过了太阳镜。比如假设你平行放置太阳镜：

太阳镜

这时候能通过太阳镜的光子被认为具有水平偏振方向。不是所有照射到太阳镜上的光子都具有这个偏正方向，这也是为什么有些光子无法穿过太阳镜。用先前的语言来说，太阳镜便实现了我们所说的测量，光子是否通过了水平放置的太阳镜决定了这个光子是否具有水平偏振方向。这与我们日常所说的测量的概念不太一样，但是希望你能熟悉这种物理学家的语言。

类似的方法可以测量出很多不同的物理性质。比如，我们将太阳镜从水平方向旋转45度：

sunglasses_45

那么通过这个太阳镜的光子的偏振方向为45度（这里的度数指与水平方向的夹角）。按照我们前面所说的，一个光子是否有45度的偏振方向也是一个二元物理性质，它通过一个45度角度放置的太阳镜测量。

物理学家在实验室按可以更精确测试光子是否具有某个角度偏正方向。他们可不是用太阳镜这样的新潮的玩意儿，他们用的是光子偏正方向探测器。虽然名字不太一样，但基本原理是一样的，只不过后者更为精确和昂贵。

现在要描述一个物理学家所做的一个关于偏振方向的一个试验。

试验从一个实验者Alice开始，Alice测量了一个光子是否具有水平的偏振方向。Alice会记录A=1如果这个光子的偏振方向是水平的。如果不是水平的Alice记录A=-1。

当然Alice也可以选择不同的角度，比如45度来测量。她会记录B=1如果光子的偏振方向为45度，不是的话则记录B=-1。

slide1

让我们从光子重新回到硬币上来。在我们想象的世界里，硬币要么是朝上或者朝向的，然后我们的测量揭示了这一点。硬币它自己知道自己的朝向，也就是说，朝向这个性质是“内在”的。同样，你也许期望光子同样知道它自己是否具有水平的偏振方向，同样也知道是否具有45度的偏振方向。

但结果显示世界并不是我们想象的那么简单。下面我将向你证明这个世界上存在一些基本的物理性质，它们并不像硬币的正反面一样是独立存在的。特别的，我们将看到在Alice测量A或者B偏振方向之前，光子它自己并不知道它的A和B将是什么。这与我们的日常经验相违背，听起来像银币在我们观察它时才确定它的正反面朝向一样。

为了证明这一点，我们先假设我们日常的世界观是正确的，也就是说，光子的确知道它们自己是否具有水平的偏振方向，它们有内在的A=1或者A=-1（同样的有B=1或者B=-1)。我们将发现这个假设与我们的实验结果矛盾。解决这个矛盾唯一的方式就是我们的初始假设是错误的，也就是说光子的偏振方向不是内在的。

我们先描述这个实验。除了Alice，这个实验还需要一个参与者Bob，以及第三个人Eve。Eve负责准备两个光子，分别发送给Alice和Bob。当Alice接受到发给自己的光子，就像之前描述的一样，她测量A和B其中某个偏振方向。至于具体测量A还是B完全是随机的，比如说通过抛银币来决定。这么做的原因我们后面很快就会阐述。Bob接收到光子之后，他随机的决定测量光子的22.5度的偏振方向，得到C，或者测量光子的67.5度的偏振方向，得到D。下面这个图总结了实验发生了什么。

slide2

比如在某个实验中，Alice她决定检测她所有的光子的偏振值B，并且得到B=1，也就是光子具有45度的偏振方向。在Bob这边，他决定观测偏振值C，得到结果-1，也就说说他的光子不具有22.5度的偏振方向。

假设Alice, Bob和Eve重复了很多次实验。然后他们可以将试验结果表示成下面的表：

A B
1  
-1  
  1
-1  
C D
  1
-1  
1  
  1

表的每一行表示一次实验结果，所以上面这个表记录了四次实验的结果。表的第一行表示第一次实验，Alice选择了测量A，测量结果为1（光子具有水平偏振方向），同样B选择了测试D，测量结果为1（光子具有67.5度的偏振方向）。

现在我们已经了解了实验是怎么进行的，下面我们来分析一下这个实验。记住，我们从一开始就假设了每个光子都是独立存在的并且具有内在的A，B，C，D的值。每次实验可以测量出其中两个的值，取决于Alice和Bob抛硬币的结果。但是，因为这四个值都具有独立的存在性，我们可以考虑包含这四个值的一个量Q，由下面等式给出：

Q = AC + BC + BD -- AD.

这里AC表示A乘以C，其中乘号被省略。

这里Q的定义有些突然，现在暂且接受它，下面你很快就会发现这个Q能导出一些很有趣的结果。

虽然Q的定义有些突然，但很计算给定A, B, C, D后的Q，比如 A = 1, B = -1, C = 1 和 D = -1，我们得到

Q = 1 x 1 + (-1) x 1 + (-1) x (-1) -- 1 x (-1) = 2.

事实上，我们可以检验，无论A, B, C, D是多少，Q总是等于2或者-2。你可以枚举16种不同的可能性来验证这一点，或者用更巧妙点的方法。

当Alice和Bob做实验的时候，Alice只确定了A和B中某个的值，Bob也只确定C和D中其中一个的值。所以他们每次只能计算出组成Q的四个量的其中一个，这无法直接得出Q的值。

但是他们可以重复实验很多次，Alice和Bob可以计算AC，BC，BD和-AD的平均值。因为这四个量的和的总是2或者-2，我们将看到，重复实验若干次后，这四个平均值的和不太可能大于2：

Avg(AC)+Avg(BC)+Avg(BD)-Avg(AD) = Avg (AC + BC + BD -- AD) ≤ 2.

上面这个不等式被称为Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH)不等式，用其四个发现者命名。CHSH建立在John Bell早先的一些想法上，他在1964年发现了一个类似的不等式。

你可能会问为什么在CHSH不等式中我们需要使用平均数的概念。为何不让Alice同时测量A和B, Bob同时测量C和D，从而他们可以直接计算Q？

为理解这几点，记住我们想要检测的东西是一个光子是否具有内在的性质A和B。但是单个的光子太精巧了，如果Alice测量A后再测量B，有可能对于A的测量影响到B，从而无法得到准切的Q值。为了保证得到准确的Q，在任一个实验中，我们只让Alice测量其中的一个。这也是我们为什么要计算平均数的原因。

你可能还会问Alice的测量是否会影响到Bob的测量。这也是有可能的。但Einstein相对论告诉如果我们让Alice和Bob相距足够远，尽可能同时测量并且尽可能的快，它们之间无法影响到对方（信息，或者说影响，不可能传递得比光速还快）。

所以，原则上，Alice和Bob可以通过多次重复实验，计算出Avg(AC)等，最后检验CHSH不等式是否成立。

Alain Aspect在法国的一个小组上世纪八十年代早期完成了一个实验，它们发现，如果Eve以某种方式准备两个光子，Alice和Bob将会得到试验结果：

Avg(AC)+Avg(BC)+Avg(BD)-Avg(AD) ≅ 2.8.

也就是说CHSH不等式在我们现实世界是不成立的。这意味这我们认为事物的性质都是内在的的信仰受到了挑战。CHSH不等式的失败让我们不得不去寻找一个新的理解世界的方式，一个完全不同于我们日常思维的方式。

很幸运的，我们发现了量子机制。在这个机制里，物体可以有非内在的性质。使用量子机制分析上面的实验可以精确预测到实验的结果。事实上，Clauser, Horne, Shimony and Holt在实际的实验完成之前已经预见到了实验结果。量子机制完美地解释了实验的结果。

© zhiqiang for 阅微堂, 2008. | 链接 | 7 条评论

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